16 July 202616 juillet 2026paper

Bachelier’s Theory of Speculation Revisited: A Reproducible Reconstruction of the Origins of Quantitative FinanceLa Théorie de la spéculation de Bachelier revisitée : une reconstruction reproductible des origines de la finance quantitative

Louis Bachelier’s 1900 doctoral thesis, Théorie de la Spéculation, is one of the earliest mathematical foundations of modern quantitative finance. This paper provides a modern and computationally reproducible reconstruction of selected mathematical elements of Bachelier’s theory. We formulate arithmetic Brownian motion in contemporary notation, establish its martingale property using conditional expectation, derive its variance-scaling relation, and present the normal European call-pricing formula in an explicit forward-measure and discounting framework. The analytical results are numerically corroborated through fixed-seed Python simulations, Monte Carlo estimation, automated tests, reproducible figures, an interactive notebook, and openly available research software. A local comparison with Black–Scholes distinguishes normal absolute-price dynamics from lognormal proportional-price dynamics and quantifies their pricing difference under a low-relative-volatility calibration. The contribution is not a new option-pricing theory. It is a transparent bridge between Bachelier’s historical work, modern mathematical finance, and reproducible computational practice.La thèse de doctorat de Louis Bachelier, Théorie de la Spéculation, publiée en 1900, constitue l’un des premiers fondements mathématiques de la finance quantitative moderne. Cet article propose une reconstruction contemporaine et reproductible par le calcul de plusieurs éléments mathématiques essentiels de la théorie de Bachelier. Nous formulons le mouvement brownien arithmétique dans une notation moderne, établissons sa propriété de martingale à l’aide de l’espérance conditionnelle, démontrons la croissance linéaire de sa variance et présentons la formule normale de valorisation d’une option d’achat européenne dans un cadre explicite utilisant un prix forward, une mesure forward et un facteur d’actualisation. Les résultats analytiques sont corroborés numériquement au moyen de simulations Python à graines aléatoires fixes, d’une estimation de Monte Carlo, de tests automatisés, de figures reproductibles, d’un notebook interactif et d’un logiciel de recherche librement accessible. Une comparaison locale avec le modèle de Black–Scholes distingue la dynamique normale des variations absolues de prix de la dynamique lognormale des variations proportionnelles et quantifie leur différence de valorisation sous une calibration à faible volatilité relative. La contribution ne constitue pas une nouvelle théorie de valorisation des options. Elle propose un lien transparent entre l’œuvre historique de Bachelier, la finance mathématique moderne et les pratiques de recherche computationnelle reproductible.

Research overview

An open and reproducible reconstruction of Bachelier’s arithmetic Brownian motion and normal option-pricing model, supported by analytical derivations, fixed-seed simulations, Monte Carlo validation, automated tests, and a reusable Python package.

Methodology and protocol

The study reconstructs several mathematical components of Louis Bachelier’s 1900 theory using modern probability theory, contemporary mathematical-finance notation, and reproducible scientific software. The reference process is a driftless arithmetic Brownian motion defined by Pₜ = P₀ + σWₜ, where P₀ denotes the initial price level, σ is a constant normal volatility measured in price units per square root of time, and Wₜ is a standard Brownian motion. The analysis establishes the martingale property through conditional expectation, namely E[Pₜ | ℱₛ] = Pₛ for 0 ≤ s ≤ t, and derives the variance relation Var(Pₜ) = σ²t. European call options are valued using the normal Bachelier formula, C₀ = D(0,T)[(F₀,T − K)Φ(d) + σ√T φ(d)], where d = (F₀,T − K)/(σ√T), F₀,T is the forward price, K is the strike price, D(0,T) is the discount factor, Φ is the standard normal cumulative distribution function, and φ is the standard normal probability density function. The numerical implementation considers the zero-interest-rate case, for which D(0,T) = 1 and F₀,T = P₀. The Brownian-motion experiment uses an initial price P₀ = 100, normal volatility σ = 2, maturity T = 1 year, 250 time steps, 5,000 simulated paths, and random seed 42. The option-pricing experiment uses F₀,T = 100, K = 100, σ = 2, T = 1 year, 500,000 Monte Carlo samples, and random seed 7. In the at-the-money case, the analytical call price is C₀ = σ√T/√(2π) ≈ 0.79788456. Reproduction is supported by the public Python interface from asr.models import bachelier, the scripts src/brownian_motion.py and src/option_pricing.py, automated tests in the tests directory, fixed random seeds, an interactive reproduction notebook, generated figures, a pinned dependency environment, continuous integration, and the LaTeX source of the paper. No external empirical dataset is used. All numerical results are generated from the explicitly documented probability models, parameters, algorithms, sample sizes, and random seeds.

Limitations and failure cases

Interpretation boundary

Arithmetic Brownian motion permits negative price levels because terminal prices are normally distributed. Although the probability is negligible under the baseline calibration, the structural limitation remains. The model assumes symmetric Gaussian changes and constant normal volatility. It does not capture skewness, heavy tails, volatility clustering, leverage effects, jumps, structural breaks, or changing market regimes. The driftless process is intentionally pedagogical and does not model expected returns. The baseline pricing implementation uses a zero-rate, unit-discount, forward-equals-initial-level special case. It omits dividends, stochastic interest rates, funding costs, transaction costs, liquidity constraints, bid–ask spreads, market incompleteness, and execution risk. The comparison with Black–Scholes is local, near the money, and based on a low-relative-volatility calibration. It does not imply global equivalence between normal and lognormal models across strikes, maturities, interest-rate environments, or volatility surfaces. Monte Carlo results contain sampling uncertainty and may change when random seeds, parameters, Python versions, numerical libraries, processors, or operating systems are changed. Fixed seeds improve reproducibility but do not guarantee bitwise equality across all computing environments. The reconstruction covers selected mathematical features of Bachelier’s thesis rather than its complete historical, institutional, or textual content. The software is intended for research, education, and reproducibility. It must not be treated as validated production software for live trading, investment advice, regulatory reporting, or operational risk management.

Vue d’ensemble

Une reconstruction ouverte et reproductible du mouvement brownien arithmétique et du modèle normal de valorisation de Bachelier, accompagnée de démonstrations, de simulations à graines fixes, d’une validation Monte Carlo, de tests automatisés et d’un package Python réutilisable.

Méthodologie et protocole

L’étude reconstruit plusieurs composantes mathématiques de la théorie de Louis Bachelier de 1900 à l’aide de la théorie moderne des probabilités, de la notation contemporaine de la finance mathématique et d’un logiciel scientifique reproductible. Le processus de référence est un mouvement brownien arithmétique sans dérive, défini par la relation P(t) = P(0) + sigma W(t), où P(0) représente le niveau de prix initial, sigma désigne une volatilité normale constante mesurée en unités de prix par racine carrée du temps, et W(t) représente un mouvement brownien standard. L’analyse établit la propriété de martingale à partir de l’espérance conditionnelle et démontre la relation de variance Var(P(t)) = sigma^2 t. Les options d’achat européennes sont valorisées à l’aide de la formule normale de Bachelier. L’implémentation numérique utilise le cas particulier d’un taux d’intérêt nul, avec un facteur d’actualisation égal à un et un prix initial égal au prix forward. L’expérience consacrée au mouvement brownien utilise un prix initial de 100, une volatilité normale de 2, une maturité d’un an, 250 pas de temps, 5 000 trajectoires simulées et la graine aléatoire 42. L’expérience de valorisation utilise un prix initial de 100, un prix d’exercice de 100, une volatilité normale de 2, une maturité d’un an, 500 000 échantillons de Monte Carlo et la graine aléatoire 7. Le prix analytique de l’option d’achat à la monnaie est approximativement égal à 0,79788456. La reproduction repose sur l’interface Python publique from asr.models import bachelier, les scripts src/brownian_motion.py et src/option_pricing.py, les tests automatisés du dossier tests, des graines aléatoires fixes, un notebook interactif de reproduction, les figures générées, un environnement de dépendances figé, l’intégration continue et la source LaTeX de l’article. Aucun jeu de données empirique externe n’est utilisé. Tous les résultats numériques sont produits à partir des modèles probabilistes, des paramètres, des algorithmes, des tailles d’échantillon et des graines aléatoires explicitement documentés.

Limites et cas d’échec

Périmètre d’interprétation

Le mouvement brownien arithmétique permet théoriquement des prix négatifs, car les prix terminaux suivent une distribution normale. Bien que cette probabilité soit négligeable avec la calibration de référence, cette limite structurelle demeure. Le modèle suppose des variations gaussiennes symétriques et une volatilité normale constante. Il ne représente pas l’asymétrie, les queues épaisses, le regroupement de volatilité, les effets de levier, les sauts, les ruptures structurelles ou les changements de régime de marché. Le processus sans dérive est volontairement pédagogique et ne modélise pas les rendements anticipés. L’implémentation de valorisation utilise un cas particulier à taux nul, avec un facteur d’actualisation égal à un et un prix forward égal au niveau initial. Elle ne tient pas compte des dividendes, des taux d’intérêt stochastiques, des coûts de financement, des coûts de transaction, des contraintes de liquidité, des écarts acheteur-vendeur, de l’incomplétude des marchés ou du risque d’exécution. La comparaison avec Black–Scholes est locale, proche de la monnaie et fondée sur une calibration à faible volatilité relative. Elle ne démontre pas une équivalence globale entre les modèles normal et lognormal pour l’ensemble des strikes, maturités, environnements de taux ou surfaces de volatilité. Les résultats de Monte Carlo comportent une incertitude d’échantillonnage et peuvent varier lorsque les graines aléatoires, les paramètres, les versions de Python, les bibliothèques numériques, le processeur ou le système d’exploitation sont modifiés. Les graines fixes améliorent la reproductibilité, mais ne garantissent pas une égalité bit à bit entre tous les environnements. La reconstruction porte sur certains éléments mathématiques de la thèse de Bachelier et non sur l’intégralité de son contenu historique, institutionnel ou textuel. Le logiciel est destiné à la recherche, à l’enseignement et à la reproductibilité. Il ne doit pas être considéré comme un logiciel de production validé pour le trading réel, le conseil en investissement, le reporting réglementaire ou la gestion opérationnelle des risques.