16 July 202616 juillet 2026paper
Louis Bachelier’s 1900 doctoral thesis, Théorie de la Spéculation, is one of the earliest mathematical foundations of modern quantitative finance. This paper provides a modern and computationally reproducible reconstruction of selected mathematical elements of Bachelier’s theory. We formulate arithmetic Brownian motion in contemporary notation, establish its martingale property using conditional expectation, derive its variance-scaling relation, and present the normal European call-pricing formula in an explicit forward-measure and discounting framework. The analytical results are numerically corroborated through fixed-seed Python simulations, Monte Carlo estimation, automated tests, reproducible figures, an interactive notebook, and openly available research software. A local comparison with Black–Scholes distinguishes normal absolute-price dynamics from lognormal proportional-price dynamics and quantifies their pricing difference under a low-relative-volatility calibration. The contribution is not a new option-pricing theory. It is a transparent bridge between Bachelier’s historical work, modern mathematical finance, and reproducible computational practice.La thèse de doctorat de Louis Bachelier, Théorie de la Spéculation, publiée en 1900, constitue l’un des premiers fondements mathématiques de la finance quantitative moderne. Cet article propose une reconstruction contemporaine et reproductible par le calcul de plusieurs éléments mathématiques essentiels de la théorie de Bachelier. Nous formulons le mouvement brownien arithmétique dans une notation moderne, établissons sa propriété de martingale à l’aide de l’espérance conditionnelle, démontrons la croissance linéaire de sa variance et présentons la formule normale de valorisation d’une option d’achat européenne dans un cadre explicite utilisant un prix forward, une mesure forward et un facteur d’actualisation. Les résultats analytiques sont corroborés numériquement au moyen de simulations Python à graines aléatoires fixes, d’une estimation de Monte Carlo, de tests automatisés, de figures reproductibles, d’un notebook interactif et d’un logiciel de recherche librement accessible. Une comparaison locale avec le modèle de Black–Scholes distingue la dynamique normale des variations absolues de prix de la dynamique lognormale des variations proportionnelles et quantifie leur différence de valorisation sous une calibration à faible volatilité relative. La contribution ne constitue pas une nouvelle théorie de valorisation des options. Elle propose un lien transparent entre l’œuvre historique de Bachelier, la finance mathématique moderne et les pratiques de recherche computationnelle reproductible.
