14 July 202614 juillet 2026article
Geometric Brownian Motion, From First PrinciplesLe mouvement brownien géométrique, à partir des principes de base
Why the log-normal assumption underlies almost every classical pricing model.Pourquoi l'hypothèse log-normale sous-tend presque tous les modèles de valorisation classiques.
Stochastic ModelingQuantitative Finance
Every introductory course in quantitative finance eventually arrives at the same stochastic differential equation:
dSt = μSt dt + σSt dWt
This is geometric Brownian motion (GBM), and it is the quiet assumption underneath Black-Scholes and most Monte Carlo pricing engines.
Why log, not linear
The trick that makes GBM tractable is modeling returns, not prices, as normally distributed. Applying Itô's lemma gives a closed-form solution for the price path:
St = S0 · exp[(μ − σ²/2)t + σWt]
Because the exponential of a normal random variable is log-normal, prices under GBM are always positive. It's the reason option pricing formulas can be derived in closed form at all.
Where it breaks down
GBM assumes constant volatility and independent log-returns. Real markets violate both assumptions routinely:
- Volatility clustering — large moves tend to be followed by large moves. GBM has no memory of this.
- Fat tails — extreme moves happen far more often than GBM would suggest.
- Jumps — macro announcements produce discontinuous price moves that a continuous diffusion process cannot represent.
Tout cours d'introduction à la finance quantitative arrive inévitablement à la même équation différentielle stochastique :
dSt = μSt dt + σSt dWt
C'est le mouvement brownien géométrique (GBM), l'hypothèse sous-jacente au modèle de Black-Scholes.
Pourquoi log, et non linéaire
L'astuce qui rend le GBM exploitable est de modéliser les rendements, et non les prix, comme étant normalement distribués. L'application du lemme d'Itô donne une solution explicite :
St = S0 · exp[(μ − σ²/2)t + σWt]
Les prix sous GBM sont toujours positifs. C'est la raison pour laquelle les formules de pricing d'options peuvent exister sous forme analytique.
Où le modèle s'effondre
- Clustering de volatilité — les grands mouvements ont tendance à être suivis par d'autres grands mouvements. Le GBM n'en a aucune mémoire.
- Queues épaisses (Fat tails) — les mouvements extrêmes se produisent bien plus souvent que ne le suggère le GBM.
- Sauts (Jumps) — les annonces macroéconomiques produisent des discontinuités impossibles pour une diffusion continue.
